中垂线的性质和判定方法

  经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,又称“中垂线”。下面我们来学习中垂线的性质和判定方法。



  

  中垂线的性质

  
  1、垂直平分线垂直且平分其所在线段。
  
  2、垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等。(中垂线地理)
  
  3、三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相等。
  

  中垂线的判定方法

  
  1、利用定义:经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线。即中垂线必须同时满足:直线过线段中点;直线⊥线段这两个条件。
  
  2、到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)。
  

  中垂线的逆定理

  
  中垂线逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
  
  证明:已知直线MN上任意一点P,PA=PB,MN是AB的垂直平分线,证明:P在MN上
  
  ∵MN是AB的垂直平分线
  
  ∴AN=NB
  
  ∵PA=PB ,PN=PN
  
  ∴△PAN和△PBN全等
  
  ∴∠PNA=∠PNB=90°
  
  由于过平面上一点,有且仅有一条直线与已知垂线垂直,故P在MN上
  
  ∴该逆定理得证。
  
  以上就是中垂线的性质和判定方法。在解决一些数学几何问题时,可以作一条中垂线作为辅助线,利用中垂线的性质来进行证明或者计算。

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